Clase 12 Métodos basados en árboles: boosting

Boosting también utiliza la idea de un “ensamble” de árboles. La diferencia grande con bagging y bosques aleatorios en que la sucesión de árboles de boosting se ‘adapta’ al comportamiento del predictor a lo largo de las iteraciones, haciendo reponderaciones de los datos de entrenamiento para que el algoritmo se concentre en las predicciones más pobres. Boosting generalmente funciona bien con árboles chicos (cada uno con sesgo alto), mientras que bosques aleatorios funciona con árboles grandes (sesgo bajo).

  • En boosting usamos muchos árboles chicos adaptados secuencialmente. La disminución del sesgo proviene de usar distintos árboles que se encargan de adaptar el predictor a distintas partes del conjunto de entrenamiento. El control de varianza se logra con tasas de aprendizaje y tamaño de árboles, como veremos más adelante.

  • En bosques aleatorios usamos muchos árboles grandes, cada uno con una muestra de entrenamiento perturbada (bootstrap). El control de varianza se logra promediando sobre esas muestras bootstrap de entrenamiento.

Igual que bosques aleatorios, boosting es también un método que generalmente tiene alto poder predictivo.

12.1 Algoritmo FSAM (forward stagewise additive modeling)

Aunque existen versiones de boosting (Adaboost) desde los 90s, una buena manera de entender los algoritmos es mediante un proceso general de modelado por estapas (FSAM).

12.1.1 Discusión

Consideramos primero un problema de regresión, que queremos atacar con un predictor de la forma \[f(x) = \sum_{k=1}^m \beta_k b_k(x),\] donde los \(b_k\) son árboles. Podemos absorber el coeficiente \(\beta_k\) dentro del árbol \(b_k(x)\), y escribimos

\[f(x) = \sum_{k=1}^m T_k(x),\]

Para ajustar este tipo de modelos, buscamos minimizar la pérdida de entrenamiento:

\[\begin{equation} \min \sum_{i=1}^N L(y^{(i)}, \sum_{k=1}^M T_k(x^{(i)})) \end{equation}\]

Este puede ser un problema difícil, dependiendo de la familia que usemos para los árboles \(T_k\), y sería difícil resolver por fuerza bruta. Para resolver este problema, podemos intentar una heurística secuencial o por etapas:

Si tenemos \[f_{m-1}(x) = \sum_{k=1}^{m-1} T_k(x),\]

intentamos resolver el problema (añadir un término adicional)

\[\begin{equation} \min_{T} \sum_{i=1}^N L(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}) + T(x^{(i)})) \end{equation}\]

Por ejemplo, para pérdida cuadrática (en regresión), buscamos resolver

\[\begin{equation} \min_{T} \sum_{i=1}^N (y^{(i)} - f_{m-1}(x^{(i)}) - T(x^{(i)}))^2 \end{equation}\] Si ponemos \[ r_{m-1}^{(i)} = y^{(i)} - f_{m-1}(x^{(i)}),\] que es el error para el caso \(i\) bajo el modelo \(f_{m-1}\), entonces reescribimos el problema anterior como \[\begin{equation} \min_{T} \sum_{i=1}^N ( r_{m-1}^{(i)} - T(x^{(i)}))^2 \end{equation}\]

Este problema consiste en ajustar un árbol a los residuales o errores del paso anterior. Otra manera de decir esto es que añadimos un término adicional que intenta corregir los que el modelo anterior no pudo predecir bien. La idea es repetir este proceso para ir reduciendo los residuales, agregando un árbol a la vez.

La primera idea central de boosting es concentrarnos, en el siguiente paso, en los datos donde tengamos errores, e intentar corregir añadiendo un término adicional al modelo.

12.1.2 Algoritmo FSAM

Esta idea es la base del siguiente algoritmo:

Algoritmo FSAM (forward stagewise additive modeling)

  1. Tomamos \(f_0(x)=0\)
  2. Para \(m=1\) hasta \(M\),
  • Resolvemos \[T_m = argmin_{T} \sum_{i=1}^N L(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}) + T(x^{(i)}))\]
  • Ponemos \[f_m(x) = f_{m-1}(x) + T_m(x)\]
  1. Nuestro predictor final es \(f(x) = \sum_{m=1}^M T_(x)\).

Observaciones: Generalmente los árboles sobre los que optimizamos están restringidos a una familia relativamente chica: por ejemplo, árboles de profundidad no mayor a \(2,3,\ldots, 8\).

Este algoritmo se puede aplicar directamente para problemas de regresión, como vimos en la discusión anterior: simplemente hay que ajustar árboles a los residuales del modelo del paso anterior. Sin embargo, no está claro cómo aplicarlo cuando la función de pérdida no es mínimos cuadrados (por ejemplo, regresión logística).

Ejemplo (regresión)

Podemos hacer FSAM directamente sobre un problema de regresión.

set.seed(227818)
library(rpart)
library(tidyverse)
x <- rnorm(200, 0, 30)
y <- 2*ifelse(x < 0, 0, sqrt(x)) + rnorm(200, 0, 0.5)
dat <- data.frame(x=x, y=y)

Pondremos los árboles de cada paso en una lista. Podemos comenzar con una constante en lugar de 0.

arboles_fsam <- list()
arboles_fsam[[1]] <- rpart(y~x, data = dat, 
                           control = list(maxdepth=0))
arboles_fsam[[1]]
## n= 200 
## 
## node), split, n, deviance, yval
##       * denotes terminal node
## 
## 1) root 200 5370.398 4.675925 *

Ahora construirmos nuestra función de predicción y el paso que agrega un árbol

predecir_arboles <- function(arboles_fsam, x){
  preds <- lapply(arboles_fsam, function(arbol){
    predict(arbol, data.frame(x=x))
  })
  reduce(preds, `+`)
}
agregar_arbol <- function(arboles_fsam, dat, plot=TRUE){
  n <- length(arboles_fsam)
  preds <- predecir_arboles(arboles_fsam, x=dat$x)
  dat$res <- y - preds
  arboles_fsam[[n+1]] <- rpart(res ~ x, data = dat, 
                           control = list(maxdepth = 1))
  dat$preds_nuevo <- predict(arboles_fsam[[n+1]])
  dat$preds <- predecir_arboles(arboles_fsam, x=dat$x)
  g_res <- ggplot(dat, aes(x = x)) + geom_line(aes(y=preds_nuevo)) +
    geom_point(aes(y=res)) + labs(title = 'Residuales') + ylim(c(-10,10))
  g_agregado <- ggplot(dat, aes(x=x)) + geom_line(aes(y=preds), col = 'red',
                                                  size=1.1) +
    geom_point(aes(y=y)) + labs(title ='Ajuste')
  if(plot){
    print(g_res)
    print(g_agregado)
  }
  arboles_fsam
}

Ahora construiremos el primer árbol. Usaremos ‘troncos’ (stumps), árboles con un solo corte: Los primeros residuales son simplemente las \(y\)’s observadas

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)
## Warning: Removed 8 rows containing missing values (geom_point).

Ajustamos un árbol de regresión a los residuales:

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

Después de 20 iteraciones obtenemos:

for(j in 1:19){
arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat, plot = FALSE)
}
arboles_fsam <- agregar_arbol(arboles_fsam, dat)

12.1.3 FSAM para clasificación binaria.

Para problemas de clasificación, no tiene mucho sentido trabajar con un modelo aditivo sobre las probabilidades:

\[p(x) = \sum_{k=1}^m T_k(x),\]

Así que hacemos lo mismo que en regresión logística. Ponemos

\[f(x) = \sum_{k=1}^m T_k(x),\]

y entonces las probabilidades son \[p(x) = h(f(x)),\]

donde \(h(z)=1/(1+e^{-z})\) es la función logística. La optimización de la etapa \(m\) según fsam es

\[\begin{equation} T = argmin_{T} \sum_{i=1}^N L(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}) + T(x^{(i)})) \tag{12.1} \end{equation}\]

y queremos usar la devianza como función de pérdida. Por razones de comparación (con nuestro libro de texto y con el algoritmo Adaboost que mencionaremos más adelante), escogemos usar \[y \in \{1,-1\}\]

en lugar de nuestro tradicional \(y \in \{1,0\}\). En ese caso, la devianza binomial se ve como

\[L(y, z) = -\left [ (y+1)\log h(z) - (y-1)\log(1-h(z))\right ],\] que a su vez se puede escribir como (demostrar):

\[L(y,z) = 2\log(1+e^{-yz})\] Ahora consideremos cómo se ve nuestro problema de optimización:

\[T = argmin_{T} 2\sum_{i=1}^N \log (1+ e^{-y^{(i)}(f_{m-1}(x^{(i)}) + T(x^{(i)})})\]

Nótese que sólo optimizamos con respecto a \(T\), así que podemos escribir

\[T = argmin_{T} 2\sum_{i=1}^N \log (1+ d_{m,i}e^{- y^{(i)}T(x^{(i)})})\]

Y vemos que el problema es más difícil que en regresión. No podemos usar un ajuste de árbol usual de regresión o clasificación, como hicimos en regresión. No está claro, por ejemplo, cuál debería ser el residual que tenemos que ajustar (aunque parece un problema donde los casos de entrenamiento están ponderados por \(d_{m,i}\)). Una solución para resolver aproximadamente este problema de minimización, es gradient boosting.

12.2 Gradient boosting

La idea de gradient boosting es replicar la idea del residual en regresión, y usar árboles de regresión para resolver (12.1).

Gradient boosting es una técnica general para funciones de pérdida generales.Regresamos entonces a nuestro problema original

\[(\beta_m, b_m) = argmin_{T} \sum_{i=1}^N L(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}) + T(x^{(i)}))\]

La pregunta es: ¿hacia dónde tenemos qué mover la predicción de \(f_{m-1}(x^{(i)})\) sumando el término \(T(x^{(i)})\)? Consideremos un solo término de esta suma, y denotemos \(z_i = T(x^{(i)})\). Queremos agregar una cantidad \(z_i\) tal que el valor de la pérdida \[L(y, f_{m-1}(x^{(i)})+z_i)\] se reduzca. Entonces sabemos que podemos mover la z en la dirección opuesta al gradiente

\[z_i = -\gamma \frac{\partial L}{\partial z}(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}))\]

Sin embargo, necesitamos que las \(z_i\) estén generadas por una función \(T(x)\) que se pueda evaluar en toda \(x\). Quisiéramos que \[T(x^{(i)})\approx -\gamma \frac{\partial L}{\partial z}(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}))\] Para tener esta aproximación, podemos poner \[g_{i,m} = -\frac{\partial L}{\partial z}(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}))\] e intentar resolver \[\begin{equation} \min_T (g_{i,m} - T(x^{(i)}))^2, \tag{12.2} \end{equation}\]

es decir, intentamos replicar los gradientes lo más que sea posible. Este problema lo podemos resolver con un árbol usual de regresión. Finalmente, podríamos escoger \(\nu\) (tamaño de paso) suficientemente chica y ponemos \[f_m(x) = f_{m-1}(x)+\nu T(x).\]

Podemos hacer un refinamiento adicional que consiste en encontrar los cortes del árbol \(T\) según (12.2), pero optimizando por separado los valores que T(x) toma en cada una de las regiones encontradas.

12.2.1 Algoritmo

Gradient boosting (versión simple)

  1. Inicializar con \(f_0(x) =\gamma\)

  2. Para \(m=0,1,\ldots, M\),

  • Para \(i=1,\ldots, n\), calculamos el residual \[r_{i,m}=-\frac{\partial L}{\partial z}(y^{(i)}, f_{m-1}(x^{(i)}))\]

  • Ajustamos un árbol de regresión a la respuesta \(r_{1,m},r_{2,m},\ldots, r_{n,m}\). Supongamos que tiene regiones \(R_{j,m}\).

  • Resolvemos (optimizamos directamente el valor que toma el árbol en cada región - este es un problema univariado, más fácil de resolver) \[\gamma_{j,m} = argmin_\gamma \sum_{x^{(i)}\in R_{j,m}} L(y^{(i)},f_{m-1}(x^{i})+\gamma )\] para cada región \(R_{j,m}\) del árbol del inciso anterior.
  • Actualizamos \[f_m (x) = f_{m-1}(x) \sum_j \gamma_{j,m} I(x\in R_{j,m})\]
  1. El predictor final es \(f_M(x)\).

12.2.2 Funciones de pérdida

Para aplicar gradient boosting, tenemos primero que poder calcular el gradiente de la función de pérdida. Algunos ejemplos populares son:

  • Pérdida cuadrática: \(L(y,f(x))=(y-f(x))^2\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = -2(y-f(x))\).
  • Pérdida absoluta (más robusta a atípicos que la cuadrática) \(L(y,f(x))=|y-f(x)|\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = signo(y-f(x))\).
  • Devianza binomial \(L(y, f(x))\) = -(1+e^{-yf(x)}), \(y\in\{-1,1\}\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = I(y=1) - h(f(x))\).
  • Adaboost, pérdida exponencial (para clasificación) \(L(y,z) = e^{-yf(x)}\), \(y\in\{-1,1\}\), \(\frac{\partial L}{\partial z} = -ye^{-yf(x)}\).

12.2.3 Discusión: adaboost (opcional)

Adaboost es uno de los algoritmos originales para boosting, y no es necesario usar gradient boosting para aplicarlo. La razón es que los árboles de clasificación \(T(x)\) toman valores \(T(x)\in \{-1,1\}\), y el paso de optimización (12.1) de cada árbol queda

\[T = argmin_{T} \sum_{i=1}^N e^{-y^{(i)}f_{m-1}(x^{(i)})} e^{-y^{(i)}T(x^{(i)})} \] \[T = argmin_{T} \sum_{i=1}^N d_{m,i} e^{-y^{(i)}T(x^{(i)})} \] De modo que la función objetivo toma dos valores: Si \(T(x^{i})\) clasifica correctamente, entonces \(e^{-y^{(i)}T(x^{(i)})}=e^{-1}\), y si clasifica incorrectamente \(e^{-y^{(i)}T(x^{(i)})}=e^{1}\). Podemos entonces encontrar el árbol \(T\) construyendo un árbol usual pero con datos ponderados por \(d_{m,i}\), donde buscamos maximizar la tasa de clasificación correcta (puedes ver más en nuestro libro de texto, o en (Hastie, Tibshirani, and Friedman 2017).

¿Cuáles son las consecuencias de usar la pérdida exponencial? Una es que perdemos la conexión con los modelos logísticos e interpretación de probabilidad que tenemos cuando usamos la devianza. Sin embargo, son similares: compara cómo se ve la devianza (como la formulamos arriba, con \(y\in\{-1,1\}\)) con la pérdida exponencial.

Ejemplo

Podemos usar el paquete de R gbm para hacer gradient boosting. Para el caso de precios de casas de la sección anterior (un problema de regresión).

Fijaremos el número de árboles en 50, de profundidad 3, usando 75% de la muestra para entrenar y el restante para validación:

library(gbm)
## Loading required package: survival
## Loading required package: lattice
## Loading required package: splines
## Loading required package: parallel
## Loaded gbm 2.1.3
entrena <- read_rds('datos/ameshousing-entrena-procesado.rds')
set.seed(23411)

ajustar_boost <- function(entrena, ...){
  mod_boosting <- gbm(log(vSalePrice) ~.,  data = entrena,
                distribution = 'gaussian',
                n.trees = 200, 
                interaction.depth = 3,
                shrinkage = 1, # tasa de aprendizaje
                bag.fraction = 1,
                train.fraction = 0.75)
  mod_boosting
}

house_boosting <- ajustar_boost(entrena)
dat_entrenamiento <- data_frame(entrena = sqrt(house_boosting$train.error),
                                valida = sqrt(house_boosting$valid.error),
                                n_arbol = 1:length(house_boosting$train.error)) %>%
                      gather(tipo, valor, -n_arbol)
print(house_boosting)
## gbm(formula = log(vSalePrice) ~ ., distribution = "gaussian", 
##     data = entrena, n.trees = 200, interaction.depth = 3, shrinkage = 1, 
##     bag.fraction = 1, train.fraction = 0.75)
## A gradient boosted model with gaussian loss function.
## 200 iterations were performed.
## The best test-set iteration was 20.
## There were 79 predictors of which 28 had non-zero influence.
ggplot(dat_entrenamiento, aes(x=n_arbol, y=valor, colour=tipo, group=tipo)) +
  geom_line()

Que se puede graficar también así:

gbm.perf(house_boosting)
## Using test method...

## [1] 20

Como vemos, tenemos que afinar los parámetros del algoritmo.

12.3 Modificaciones de Gradient Boosting

Hay algunas adiciones al algoritmo de gradient boosting que podemos usar para mejorar el desempeño:

12.3.1 Tasa de aprendizaje (shrinkage)

Funciona bien modificar el algoritmo usando una tasa de aprendizae \(0<\nu<1\): \[f_m(x) = f_{m-1}(x) + \nu \sum_j \gamma_{j,m} I(x\in R_{j,m})\]

Este parámetro sirve como una manera de evitar sobreajuste rápido cuando construimos los predictores. Si este número es muy alto, podemos sobreajustar rápidamente con pocos árboles, y terminar con predictor de varianza alta. Si este número es muy bajo, puede ser que necesitemos demasiadas iteraciones para llegar a buen desempeño.

Igualmente se prueba con varios valores de \(0<nu<1\) (típicamente \(\nu<0.1\)) para mejorar el desempeño en validación. Nota: cuando hacemos \(\nu\) más chica, es necesario hacer \(M\) más grande (correr más árboles) para obtener desempeño óptimo.

Veamos que efecto tiene en nuestro ejemplo:

modelos_dat <- data_frame(n_modelo = 1:4, shrinkage = c(0.05, 0.1, 0.5, 1))
modelos_dat <- modelos_dat %>% 
  mutate(modelo = map(shrinkage, boost)) %>%
  mutate(eval = map(modelo, eval_modelo))
modelos_dat
## # A tibble: 4 x 4
##   n_modelo shrinkage    modelo                 eval
##      <int>     <dbl>    <list>               <list>
## 1        1      0.05 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
## 2        2      0.10 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
## 3        3      0.50 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
## 4        4      1.00 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
graf_eval <- modelos_dat %>% select(shrinkage, eval) %>% unnest
graf_eval
## # A tibble: 4,000 x 4
##    shrinkage n_arbol    tipo     valor
##        <dbl>   <int>   <chr>     <dbl>
##  1      0.05       1 entrena 0.3914774
##  2      0.05       2 entrena 0.3795092
##  3      0.05       3 entrena 0.3683144
##  4      0.05       4 entrena 0.3578551
##  5      0.05       5 entrena 0.3480027
##  6      0.05       6 entrena 0.3387286
##  7      0.05       7 entrena 0.3300476
##  8      0.05       8 entrena 0.3210405
##  9      0.05       9 entrena 0.3127008
## 10      0.05      10 entrena 0.3047083
## # ... with 3,990 more rows
ggplot(filter(graf_eval, tipo=='valida'), aes(x = n_arbol, y= valor, colour=factor(shrinkage), group =
                        shrinkage)) + geom_line() +
  facet_wrap(~tipo)

Obsérvese que podemos obtener un mejor resultado de validación afinando la tasa de aprendizaje. Cuando es muy grande, el modelo rápidamente sobreajusta cuando agregamos árboles. Si la tasa es demasiado chica, podos tardar mucho en llegar a un predictor de buen desempeño.

¿Cómo crees que se ven las gráfica de error de entrenamiento?

12.3.2 Submuestreo (bag.fraction)

Funciona bien construir cada uno de los árboles con submuestras de la muestra de entrenamiento, como una manera adicional de reducir varianza al construir nuestro predictor (esta idea es parecida a la de los bosques aleatorios, aquí igualmente perturbamos la muestra de entrenamiento en cada paso para evitar sobreajuste). Adicionalmente, este proceso acelera considerablemente las iteraciones de boosting, y en algunos casos sin penalización en desempeño.

En boosting generalmente se toman submuestras (una fracción de alrededor de 0.5 de la muestra de entrenamiento, pero puede ser más chica para conjuntos grandes de entrenamiento) sin reemplazo.

Este parámetro también puede ser afinado con muestra de validación o validación cruzada.

boost <- ajustar_boost(entrena)
modelos_dat <- data_frame(n_modelo = 1:3, 
                          bag.fraction = c(0.25, 0.5, 1),
                          shrinkage = 0.25)
modelos_dat <- modelos_dat %>% 
  mutate(modelo = pmap(., boost)) %>%
  mutate(eval = map(modelo, eval_modelo))
modelos_dat
## # A tibble: 3 x 5
##   n_modelo bag.fraction shrinkage    modelo                 eval
##      <int>        <dbl>     <dbl>    <list>               <list>
## 1        1         0.25      0.25 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
## 2        2         0.50      0.25 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
## 3        3         1.00      0.25 <S3: gbm> <tibble [1,000 x 3]>
graf_eval <- modelos_dat %>% select(bag.fraction, eval) %>% unnest
graf_eval
## # A tibble: 3,000 x 4
##    bag.fraction n_arbol    tipo     valor
##           <dbl>   <int>   <chr>     <dbl>
##  1         0.25       1 entrena 0.3404206
##  2         0.25       2 entrena 0.2948882
##  3         0.25       3 entrena 0.2582633
##  4         0.25       4 entrena 0.2316890
##  5         0.25       5 entrena 0.2106434
##  6         0.25       6 entrena 0.1946327
##  7         0.25       7 entrena 0.1825413
##  8         0.25       8 entrena 0.1733467
##  9         0.25       9 entrena 0.1652359
## 10         0.25      10 entrena 0.1596591
## # ... with 2,990 more rows
ggplot((graf_eval), aes(x = n_arbol, y= valor, colour=factor(bag.fraction), group =
                        bag.fraction)) + geom_line() +
  facet_wrap(~tipo)

En este ejemplo, podemos reducir el tiempo de ajuste usando una fracción de submuestro de 0.5, sin diferencias grandes en desempeño.

Ahora veamos los dos parámetros actuando en conjunto:

modelos_dat <- list(bag.fraction = c(0.1, 0.25, 0.5, 1),
                          shrinkage = c(0.01, 0.1, 0.25, 0.5)) %>% expand.grid
modelos_dat <- modelos_dat %>% 
  mutate(modelo = pmap(., boost)) %>%
  mutate(eval = map(modelo, eval_modelo))
head(modelos_dat)
##   bag.fraction shrinkage
## 1         0.10      0.01
## 2         0.25      0.01
## 3         0.50      0.01
## 4         1.00      0.01
## 5         0.10      0.10
## 6         0.25      0.10
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## 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     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## 3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     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## 4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     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## 5 12.02513, 12.23172, 12.18449, 12.2686, 12.01389, 12.60349, 11.90336, 12.58667, 12.28545, 11.78023, 11.77512, 11.7666, 12.79809, 11.80189, 12.37655, 11.91542, 11.76772, 11.90439, 11.43928, 11.96802, 11.74427, 12.71555, 11.95963, 12.38755, 11.79623, 11.89283, 12.50243, 11.85986, 12.60747, 12.16878, 11.12176, 11.13666, 11.78993, 12.10967, 12.02447, 12.52481, 12.65348, 11.85804, 11.84262, 11.71464, 11.42369, 11.79852, 12.05537, 11.88275, 11.75956, 11.96029, 12.58054, 12.47703, 12.46219, 11.51454, 11.79537, 12.09665, 11.74203, 11.50809, 12.86511, 11.73644, 12.01902, 12.16137, 12.14244, 12.94704, 11.71511, 12.08563, 11.6365, 12.20699, 11.79359, 12.30541, 12.64802, 12.38184, 12.26848, 11.24137, 12.3457, 12.4675, 11.77446, 12.13017, 11.90954, 11.57807, 11.41061, 11.71229, 11.76144, 11.70269, 11.5184, 12.07624, 11.96725, 12.46418, 11.78089, 12.06218, 12.55958, 12.06772, 11.96453, 11.17565, 11.68262, 11.53042, 11.63057, 12.00152, 12.00289, 12.19843, 12.1113, 12.34699, 11.5146, 11.29105, 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## 6                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     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0.131775292725261, 0.131923346869445, 0.131796950987756, 0.131604783590109, 0.131441065747679, 0.131643080926305, 0.131901358578229, 0.131868704075665, 0.132009259881072, 0.132072852637019, 0.131859122515814, 0.131789117531571, 0.131792050536712, 0.132065406772229, 0.132026821919701, 0.132002898892941, 0.132043030795286, 0.132297174321039, 0.132381302906564, 0.13239155388554, 0.132287358760905, 0.132151386731322, 0.132379780778744, 0.132176334455008, 0.13219396176484, 0.13231748093117, 0.132406853426091, 0.132410602056541, 0.13236985747323, 0.132429950918168, 0.13232125850149, 0.131998473700303, 0.131955599884891, 0.131729292446393, 0.131868991657631, 0.131722524840102, 0.131645819060273, 0.131893526369084, 0.131932146894802, 0.1316985137656, 0.131913765187017, 0.131883697393098, 0.131999182945039, 0.13207680760168, 0.132279239817306, 0.132170356600631, 0.132193329334165, 0.132194347090279, 0.132007886160955, 0.132014711013744, 0.132039621558531, 0.131709448385873, 0.131681447505005, 0.131515876145983, 0.131669298643345, 0.131641540977615, 0.131752649152988, 0.131564897472806, 0.131445628644333, 0.131339127955174, 0.131503169286209, 0.131669253705342, 0.131350165900902, 0.131562784699126, 0.1316512527382, 0.131881909137094, 0.131870353396694, 0.131812679970278, 0.131942575074169, 0.131627941379097, 0.131776401379543, 0.131724662078687, 0.131752242440733, 0.131748126198284, 0.131745639669841, 0.131700144436395, 0.131556970192177, 0.131830340381816, 0.131788769919748, 0.131787565860162, 0.1317493051049, 0.131868263848307, 0.131647881859615, 0.131717192893815, 0.131818614561226, 0.131843930438804, 0.131970276615398, 0.132243137001134, 0.131971996706686, 0.132160181657825, 0.131993694012931, 0.131993000237088, 0.13188605626294
graf_eval <- modelos_dat %>% select(shrinkage, bag.fraction, eval) %>% unnest
head(graf_eval)
##   shrinkage bag.fraction n_arbol    tipo     valor
## 1      0.01          0.1       1 entrena 0.4016655
## 2      0.01          0.1       2 entrena 0.3991252
## 3      0.01          0.1       3 entrena 0.3964301
## 4      0.01          0.1       4 entrena 0.3942135
## 5      0.01          0.1       5 entrena 0.3914665
## 6      0.01          0.1       6 entrena 0.3891097
ggplot(filter(graf_eval, tipo =='valida'), aes(x = n_arbol, y= valor, colour=factor(bag.fraction), group =
                        bag.fraction)) + geom_line() +
  facet_wrap(~shrinkage)

Bag fraction demasiado chico no funciona bien, especialmente si la tasa de aprendizaje es alta (¿Por qué?). Filtremos para ver con detalle el resto de los datos:

ggplot(filter(graf_eval, tipo =='valida', bag.fraction>0.1), aes(x = n_arbol, y= valor, colour=factor(bag.fraction), group =
                        bag.fraction)) + geom_line() +
  facet_wrap(~shrinkage) + scale_y_log10()

Y parece ser que para este número de iteraciones, una tasa de aprendizaje de 0.1 junto con un bag fraction de 0.5 funciona bien:

graf_eval %>% filter(tipo=='valida') %>%
  group_by(shrinkage, bag.fraction) %>%
  summarise(valor = min(valor)) %>%
   arrange(valor)
## # A tibble: 16 x 3
## # Groups:   shrinkage [4]
##    shrinkage bag.fraction     valor
##        <dbl>        <dbl>     <dbl>
##  1      0.10         0.50 0.1246740
##  2      0.25         0.50 0.1283885
##  3      0.10         1.00 0.1305941
##  4      0.10         0.25 0.1310472
##  5      0.01         0.25 0.1311681
##  6      0.10         0.10 0.1320537
##  7      0.25         0.25 0.1333946
##  8      0.25         1.00 0.1349612
##  9      0.01         0.50 0.1366676
## 10      0.01         0.10 0.1367777
## 11      0.01         1.00 0.1407490
## 12      0.50         1.00 0.1480422
## 13      0.25         0.10 0.1560010
## 14      0.50         0.50 0.1587105
## 15      0.50         0.25 0.1676023
## 16      0.50         0.10 0.1955963

12.3.3 Número de árboles M

Se monitorea el error sobre una muestra de validación cuando agregamos cada árboles. Escogemos el número de árboles de manera que minimize el error de validación. Demasiados árboles pueden producir sobreajuste. Ver el ejemplo de arriba.

12.3.4 Tamaño de árboles

Los árboles se construyen de tamaño fijo \(J\), donde \(J\) es el número de cortes. Usualmente \(J=1,2,\ldots, 10\), y es un parámetro que hay que elegir. \(J\) más grande permite interacciones de orden más alto entre las variables de entrada. Se intenta con varias \(J\) y \(M\) para minimizar el error de vaidación.

12.3.5 Controlar número de casos decidir si hacemos cortes

Igual que en bosques aleatorios, podemos establecer mínimos de muestra en nodos terminales, o mínimo de casos necesarios para hacer un corte.

Ejemplo

modelos_dat <- list(bag.fraction = c( 0.25, 0.5, 1),
                          shrinkage = c(0.01, 0.1, 0.25, 0.5),
                    depth = c(1,5,10,12)) %>% expand.grid
modelos_dat <- modelos_dat %>% 
  mutate(modelo = pmap(., boost)) %>%
  mutate(eval = map(modelo, eval_modelo))
graf_eval <- modelos_dat %>% select(shrinkage, bag.fraction, depth, eval) %>% unnest
ggplot(filter(graf_eval, tipo =='valida'), aes(x = n_arbol, y= valor, colour=factor(bag.fraction), group =
                        bag.fraction)) + geom_line() +
  facet_grid(depth~shrinkage) + scale_y_log10()

Bishop, Christopher M. 2006. Pattern Recognition and Machine Learning (Information Science and Statistics). Secaucus, NJ, USA: Springer-Verlag New York, Inc.

Goodfellow, Ian, Yoshua Bengio, and Aaron Courville. 2016. Deep Learning. MIT Press.

Hastie, Trevor, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman. 2017. The Elements of Statistical Learning. Springer Series in Statistics. Springer New York Inc. http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/.

James, Gareth, Daniela Witten, Trevor Hastie, and Robert Tibshirani. 2014. An Introduction to Statistical Learning: With Applications in R. Springer Publishing Company, Incorporated. http://www-bcf.usc.edu/~gareth/ISL/.

Ng, Andrew. 2017. “Machine Learning.” https://www.coursera.org/learn/machine-learning.

Srivastava, Nitish, Geoffrey Hinton, Alex Krizhevsky, Ilya Sutskever, and Ruslan Salakhutdinov. 2014. “Dropout: A Simple Way to Prevent Neural Networks from Overfitting.” J. Mach. Learn. Res. 15 (1). JMLR.org: 1929–58. http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2627435.2670313.

References

Hastie, Trevor, Robert Tibshirani, and Jerome Friedman. 2017. The Elements of Statistical Learning. Springer Series in Statistics. Springer New York Inc. http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/.